Математикалык модель

Математикалык модель - математикалык презентация реалиялар, моделдердин варианттарынын бири системалары, анын изилдөөсү кандайдыр бир башка система жөнүндө маалымат алууга мүмкүндүк берет. Математикалык модель, атап айтканда, реалдуу объекттин жүрүм-турумун алдын ала айтууга арналган, бирок ар дайым анын идеалдаштыруунун тигил же бул даражасын көрсөтөт.

Математикалык моделдөөm математикалык моделдерди куруу жана изилдөө үчүн иш-аракеттин өзүнө да, кабыл алынган методдор менен ыкмалардын жыйындысына да тиешелүү.

Математикалык аппаратты колдонгон бардык табият таануу жана коомдук илимдер, маңызы боюнча, математикалык моделдөө менен алектенет: алар изилдөө объектисин анын математикалык [[моделине] алмаштырышат. ] анан экинчисин изилде. Математикалык методдорду колдонуу менен, эреже катары, идеалдуу объект же мазмундуу моделдөө стадиясында курулган процесс Template:Өтүү сүрөттөлөт. Математикалык модель менен чындык ортосундагы байланыш эмпирикалык мыйзамдар, гипотезалар, идеалдаштыруу жана жөнөкөйлөштүрүү тизмеги аркылуу ишке ашырылат.

Аныктамалар

Математикалык модель — математикалык символдор менен туюнтулган тышкы дүйнөдөгү кубулуштардын классынын болжолдуу сүрөттөлүшү.

Ляпунов пикири боюнча, математикалык моделдөө — объектти кыйыр практикалык же теориялык жактан изилдөө, мында бизди түздөн-түз кызыктырган объекттин өзү эмес, кандайдыр бир көмөкчү жасалма же табигый система ( модели), белгилүү объект менен кандайдыр бир объективдүү дал келген, аны белгилүү бир өңүттө алмаштырууга жөндөмдүү жана аны изилдөөнүн жүрүшүндө, акырында моделделген объекттин өзү жөнүндө маалымат берет.

Башка варианттарда математикалык модель түпнуска объектинин ордун алмаштыруучу объект катары аныкталып, оригиналдын айрым касиеттерин изилдөөнү камсыз кылат, " эквивалент» объектинин математикалык түрдө чагылдырылган, анын эң маанилүү касиеттери мыйзамдар, ага баш ийет, анын түзүүчү бөлүктөрүнө мүнөздүү байланыштар":

• Сызыктуу же сызыктуу эмес моделдер;
• Бөлтүрүлгөн же бөлүштүрүлгөн системаларTemplate:Sfn;
• Детерминисттик же стохастикалыкTemplate:Sfn;
• Статикалык же динамикалык;
• Дискреттүү же Үзгүлтүксүз.жана башка. Ар бир курулган модель сызыктуу же сызыктуу эмес, детерминистикалык же стохастикалык, ... Табигый түрдө аралаш типтер да болушу мүмкүн: бир жагынан топтолгон (параметрлери боюнча), экинчи жагынан бөлүштүрүлгөн ж.б.

Объекттин көрсөтүлүшүнө жараша классификация

Расмий классификация менен бирге, моделдер объектти чагылдыруу жолу менен айырмаланат:

• Структуралык же функционалдык моделдери

Структуралык моделдер объектти өзүнүн түзүмү жана иштөө механизми менен система катары билдирет. Функционалдык моделдер мындай көрүнүштөрдү колдонбойт жана объекттин сырттан кабыл алынган жүрүм-турумун (функциясын) гана чагылдырат. Экстремалдуу туюнтмаларында алар моделдер “кара куту” деп да аталат.Template:Sfn Моделдердин айкалышкан түрлөрү да мүмкүн, алар кээде "боз куту" модели деп аталат.

Мазмун жана формалдуу моделдер

Математикалык моделдөө процессин сыпаттап жаткан дээрлик бардык авторлор формалдуу эмес дискуссиялардын негизинде биринчи кезекте атайын идеалдуу түзүлүш, «мааниси бар модель» курулганын, моделделген объектти айкыныраак түшүнүү жана анын маанилүү моделин тактоо мүмкүндүгүн белгилешет. Сиз бул этапта убакытты жана күч-аракетти аябашыңыз керек. Математикалык маселени чечүүгө жумшалган олуттуу иштер иштин бул жагына жетиштүү көңүл бурулбагандыктан натыйжасыз же текке кеткени бир нече жолу болгон.”|с=35|name="Myshkis_cyt02"}}. Бул жерде белгиленген терминология жок жана башка авторлор бул идеалдуу объектти концептуалдык модель'Template:Sfn, спекулятивдүү модель physicsде колдонулган математикалык моделдердин классификациясы жана кененирээк айтканда, табият илимдеринде берилет. Китепте А.N. Горбаня жана Р.Г. Хлебопроса бул классификация талданган жана кеңейтилген. Бул классификация биринчи кезекте маанилүү моделди түзүү стадиясына багытталган.

Гипотеза

Биринчи типтеги моделдер - гипотеза ("бул болушу мүмкүн"), "кубулуштун болжолдуу сүрөттөлүшүн билдирет жана автор анын мүмкүндүгүнө ишенет, ал тургай аны чындык деп эсептейт". Пейерлстин ою боюнча, бул, мисалы, Птолемей боюнча Күн системасы модели жана Коперник модели (Кеплер тарабынан жакшыртылган. ), атом модели Рутерфорд жана Чоң жарылуу модели.

Илимдеги моделдик гипотезаларды биротоло далилдөө мүмкүн эмес, биз эксперименттин натыйжасында аларды жокко чыгаруу же четке кагуу жөнүндө гана айта алабыз.

Эгерде биринчи типтеги модель курулса, бул ал убактылуу чындык катары кабыл алынып, башка көйгөйлөргө көңүл бурса болот дегенди билдирет. Бирок, бул изилдөөнүн чекити болушу мүмкүн эмес, бирок убактылуу тыныгуу гана: биринчи типтеги моделдин статусу убактылуу гана болушу мүмкүн.

Феноменологиялык модель

Экинчи тиби - феноменологиялык модель (өзүн ошондой эле алып жүрүү...), анда феноменди сүрөттөп берүү механизми камтылган, бирок бул механизм жетиштүү ынандырарлык болбосо да, колдо болгон маалыматтар менен жетиштүү түрдө колдоого алынбайт же туура келбейт. бар теориялар жана объект жөнүндө топтолгон билимдер менен. Демек, феноменологиялык моделдер убактылуу чечим статусуна ээ. Жооп дагы эле белгисиз жана "чыныгы механизмдерди" издөөнү улантуу керек деп эсептешет. Peierls, мисалы, элементардык бөлүкчөлөрдүн калориялыка жана кварк моделин экинчи түргө камтыйт.

Изилдөөдөгү моделдин ролу убакыттын өтүшү менен өзгөрүшү мүмкүн жана жаңы маалыматтар жана теориялар феноменологиялык моделдерди ырастап, алар гипотеза статусуна көтөрүлүшү мүмкүн. Ошо сыяктуу эле, жаңы билим акырындык менен биринчи типтеги гипотеза моделдери менен карама-каршы келип, экинчисине которулушу мүмкүн. Ошентип, кварк модели акырындык менен гипотеза категориясына өтүүдө; атомизм физикада убактылуу чечим катары пайда болгон, бирок тарыхтын жүрүшү менен биринчи түргө айланган. Бирок эфир моделдери 1-түрдөн 2-түргө чейин жол салып, азыр илимден тышкары.

Моделдерди курууда жөнөкөйлөтүү идеясы абдан популярдуу. Бирок жөнөкөйлөштүрүү ар кандай формада болот. Пейерлс моделдөөдө жөнөкөйлөштүрүүнүн үч түрүн аныктайт.

Жакындоо

Үчүнчү типтеги моделдер – бул болжолдоо («биз абдан чоң же өтө кичинекей нерсени карайбыз»’’). Эгерде изилденүүчү системаны сүрөттөгөн теңдемелерди куруу мүмкүн болсо, бул аларды компьютердин жардамы менен да чечүүгө болот дегенди билдирбейт. Бул учурда жалпы ыкма болжолдоолорду колдонуу болуп саналат (3 типтеги моделдер). Алардын арасында сызыктуу жооп моделдери бар. Теңдемелер сызыктуулар менен алмаштырылат. Стандарттуу мисал Ом мыйзамы.

Эгер жетишээрлик сейректелген газдарды сүрөттөө үчүн идеалдуу газ моделин колдонсок, анда ал 3-тип (жакындоо) модели болуп саналат. Жогорку газ тыгыздыгында, сапаттуу түшүнүү жана баалоо үчүн идеалдуу газ менен жөнөкөй жагдайды элестетүү да пайдалуу, бирок анда бул 4-түр.

Жөнөкөйлөтүү

Төртүнчү түрү - бул жөнөкөйлөтүү («түшүнүктүү болуу үчүн кээ бир деталдарды калтырып кетели»), мында деталдар жокко чыгарылат, алар олуттуу жана дайыма эле жыйынтыкка таасир эте бербейт. Ошол эле теңдемелер 3-тип (жакындоо) же 4-тип (''түшүнүктүү болуу үчүн кээ бир деталдарды калтырып кетели) модели катары кызмат кыла алат, бул модель изилдөө үчүн колдонулуп жаткан кубулушка жараша. Демек, сызыктуу жооп моделдери татаалыраак моделдер жок учурда колдонулса (б.а. сызыктуу эмес теңдемелер сызыктуу эмес, объектти сүрөттөгөн сызыктуу теңдемелер жөн гана изделсе), анда булар мурунтан эле "феноменологиялык сызыктуу моделдер" жана алар тиешелүү төмөнкү 4-түргө (биз "түшүнүктүү болуу үчүн" бардык сызыктуу эмес деталдарды калтырабыз).

Мисалдар: идеалдуу газ моделин идеалдуу эмес моделге колдонуу, ван дер Ваальс абалынын теңдемеси, Катуу зат физикасынын көпчүлүк моделдери , [ [Суюктук|суюктуктар]] жана Ядролук физика. Микросүрөттөөдөн көп сандагы бөлүкчөлөрдөн турган денелердин (же медианын) касиеттерине чейинки жол абдан узун. Көптөгөн майда-чүйдөсүнө чейин жокко чыгаруу керек. Бул төртүнчү типтеги моделдерге алып келет.

Эвристикалык модель

Бешинчи тиби – эвристикалык модель ("сандык ырастоо жок, бирок модель тереңирээк түшүнүк берет"), мындай модель чындыкка сапаттык окшоштугун гана сактап, болжолдоолорду "чоңдугу боюнча" гана жасайт. Типтүү мисал кинетикалык теориядагы орточо эркин жолдун жакындашуусу. Ал илешкектүүлүк, диффузия, жылуулук өткөрүмдүүлүк коэффициенттери үчүн чоңдук тартиби боюнча чындыкка дал келген жөнөкөй формулаларды берет.

Бирок жаны физиканы куруп жатканда объектиге жок дегенде сапаттык мүнөздөмө берген моделди — бешинчи типтеги моделди дароо алуу мүмкүн эмес. Бул учурда, жок эле дегенде, майда-чүйдөсүнө чейин чындыкты чагылдырган "аналогиялык модели" көп колдонулат.

Аналогия

Тип алты аналогиялык модели болуп саналат («кей бир өзгөчөлүктөрүн гана эске алалы»). Peierls биринчи макаласында Гейзенберг ядролук күчтөрдүн табияты жөнүндө аналогиялардын колдонулуш тарыхын берет.

Ой эксперименти

Моделдин жетинчи тиби – ой эксперименти ( кеп мумкунчулукту жокко чыгарууда). Моделдештирүүнүн бул түрүн Эйнштейн көп колдонгон, атап айтканда, бул эксперименттердин бири салыштырмалуулуктун атайын теориясы түзүлүшүнө алып келген. Классикалык физикада жарык толкунунун артында жарык ылдамдыгы менен жылып жатабыз дейли. Биз мейкиндикте мезгил-мезгили менен өзгөрүп туруучу жана убакыт боюнча туруктуу электромагниттик талаа байкайбыз. Максвелл теңдемелери боюнча мындай болушу мүмкүн эмес. Демек, Эйнштейн: же эталондук система өзгөргөндө табияттын мыйзамдары өзгөрөт, же жарыктын ылдамдыгы маалымат системасыдан көз каранды эмес деген жыйынтыкка келип, экинчи вариантты тандап алган.

Функциянын демонстрациясы

Сегизинчи түрү – бул мүмкүнчүлүктүн демонстрациясы (башкысы — мүмкүнчүлүктүн ички ырааттуулугун көрсөтүү), бул типтеги моделдер ошондой эле сунуш кылынган кубулуштун негизги принциптер менен шайкеш келерин көрсөтүүчү элестүү нерселер менен ой эксперименттери болуп саналат. ички ырааттуу болуп саналат. Бул жашыруун карама-каршылыктарды ачып берген 7-типтеги моделдерден негизги айырмасы.

Бул эксперименттердин эң белгилүүсү Лобачевский геометриясы болуп саналат. (Лобачевский аны “элестетүү геометрия” деп атаган.) Эйнштейн-Подольский-Розен парадоксу кванттык механиканын карама-каршылыгын көрсөтүү үчүн ой жүгүртүү эксперименти катары арналган, бирок плансыз түрдө убакыттын ичинде ал 8 типтеги моделге айланды — кванттык телепортация маалыматынын мүмкүндүгүн көрсөтүү.

Мазмун классификациясы математикалык анализ жана эсептөөлөрдүн алдындагы этаптарга негизделет. Peierls ылайык моделдердин сегиз түрү моделдөө боюнча изилдөө позициялардын сегиз түрү болуп саналат.

Моделделген системанын татаалдыгы

Системалардын татаалдыгынын үч деңгээлин айырмалоо сунушталат: жөнөкөй физикалык, татаал физикалык жана биологиялык системалар, ал эми көпчүлүк учурларда татаалыраак системаларды жөнөкөйлөргө кыскартуу жол берилгис экени белгиленет.

Катуу жана жумшак моделдер

Академик А.А.Андронов системага майда өзгөрүүлөрдү киргизүү менен байланышкан моделдердин туруксуздугунун үч түрүн аныктады: 1) баштапкы шарттардын өзгөрүшүнө туруксуздук (бузуу Ляпунов стабилдүүлүк шартынын ), 2) системанын эркиндик даражаларынын санынын өзгөрүшүнө алып келбеген параметрлердин кичине өзгөрүшүнө туруксуздук жана 3) сандын өзгөрүшүнө алып келген параметрлердин анча чоң эмес өзгөрүүлөрүнө туруксуздук. системанын эркиндик даражасы. Системанын эркиндик даражаларынын санынын өзгөрүшү менен параметрлеринин кичине өзгөрүүлөрүнө туруксуздук байкалган системалар, адатта, “орой эмес” деп аталат. Кийинчерээк алар "катуу" моделдер катары белгилене баштаган.

Гармоникалык осциллятор "катуу" моделдин мисалы; ал чыныгы физикалык системаны күчтүү идеалдаштыруунун натыйжасында алынат:

<математика>

m\ddot x=-kx </math>, мында ${\ddot {x}}$ убакытка карата $x$ экинчи туунду дегенди билдирет: ${\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}$. Формалдуу классификация боюнча бул модель сызыктуу, детерминисттик, динамикалык, концентрациялуу, үзгүлтүксүз. Аны куруу процессинде көптөгөн божомолдор жасалган (сырткы күчтөрдүн жоктугу, сүрүлүүнүн жоктугу, четтөөлөрдүн аздыгы ж.б. жөнүндө), алар чындыгында аткарылбай калышы мүмкүн.

Чындыкка карата бул көбүнчө 4-түрдөгү жөнөкөйлөтүү модели ("түшүнүктүү болуу үчүн кээ бир деталдарды калтырып кетели"), анткени кээ бир маанилүү универсалдуу өзгөчөлүктөр (мисалы, Энергиянын сарпталуусу алынып салынган). Кандайдыр бир жакындоо боюнча (айталы, жүктүн тең салмактуулуктан четтөөсү аз, сүрүлүүсү аз, өтө көп убакытка эмес жана кээ бир башка шарттарга ылайык), мындай модель чыныгы механикалык системаны абдан жакшы сүрөттөйт, анткени четке кагылган факторлор анын жүрүм-турумуна анчалык деле таасири жок. Бирок, бул факторлордун айрымдарын эске алуу менен моделди тактоого болот. Бул жаңы моделге алып келет, анын колдонуу чөйрөсү кененирээк (кайра чектелген болсо да).

Гармоникалык осциллятордун касиеттери анча чоң эмес бузулуулар менен сапаттык жактан өзгөрөт. Мисалы, оң жагына кичинекей терминди $-\varepsilon {\dot {x}}$ (сүрүү) кошсок ($\varepsilon >0$ кандайдыр бир кичинекей параметр), экспоненциалдык түрдө алабыз. басаңдатылган термелүүлөр, эгерде $(\varepsilon {\dot {x}})$ кошумча мүчөсүнүн белгисин өзгөртсө, анда сүрүлүү насоско айланат жана термелүүлөрдүн амплитудасы экспоненциалдуу түрдө жогорулайт.

Катуу моделдин колдонулушу жөнүндөгү маселени чечүү үчүн биз көңүл бурбай койгон факторлордун канчалык маанилүү экенин түшүнүү зарыл. Катуу бир аз кыйшаюу менен алынган жумшак моделдерди изилдөө зарыл. Гармоникалык осциллятор үчүн алар, мисалы, төмөнкү теңдеме менен берилиши мүмкүн:

<математика>

 m\ddot x=-kx+\varepsilon f(x,\dot x)

</math>. Бул жерде $f(x,{\dot {x}})$ - сүрүлүү күчүн же пружинанын катуулук коэффициентинин анын созуу даражасына көз карандылыгын эске ала турган функция. Учурда бизди $f$ функциясынын ачык формасы кызыктырбайт.

Эгерде биз жумшак моделдин жүрүм-туруму катуу моделдин жүрүм-турумунан принципиалдуу түрдө айырмаланбагандыгын далилдесек (эгер тынчсыздандыруучу факторлордун ачык түрүнө карабастан, эгерде алар жетишерлик аз болсо), маселе катуу моделди изилдөөгө чейин кыскарат. Болбосо, катаал моделди изилдөөдөн алынган натыйжаларды колдонуу кошумча изилдөөлөрдү талап кылат.

Эгерде система кичине бузулууларда өзүнүн сапаттык жүрүм-турумун сактаса, ал структуралык жактан туруктуу деп айтылат. Гармоникалык осциллятор структуралык жактан туруксуз (орой эмес) системанын мисалы болуп саналат. убакыт.

Математикалык моделдөөнүн түз жана тескери маселелери

Математикалык моделдөө менен байланышкан көптөгөн көйгөйлөр бар. Биринчиден, сиз моделделген объекттин негизги диаграммасын ойлоп табышыңыз керек, аны ушул илимдин идеализацияларынын алкагында кайра чыгарышыңыз керек. Ошентип, поезд вагону ар кандай материалдардан жасалган плиталар жана татаалыраак кузовдор системасына айланат, ар бир материал анын стандарттуу механикалык идеализациясы (тыгыздык, ийкемдүү модулдар, стандарттык бекемдик мүнөздөмөлөрү) катары көрсөтүлөт. кайсы теңдемелер түзүлөт , жолдо кээ бир деталдар маанилүү эмес деп четке кагылып, эсептөөлөр жүргүзүлөт, өлчөөлөр менен салыштырылат, модель такталган ж.б.у.с. Бирок, математикалык моделдөө технологияларын иштеп чыгуу үчүн, бул процессти анын негизги компоненттерине бөлүү пайдалуу.

Салттуу түрдө математикалык моделдер менен байланышкан маселелердин эки негизги классы бар: түз жана тескери.

Түздөн-түз тапшырма: моделдин түзүмү жана анын бардык параметрлери белгилүү деп эсептелет, негизги милдет объект жөнүндө пайдалуу билимдерди алуу үчүн моделди изилдөө болуп саналат. Көпүрө кандай статикалык жүккө туруштук берет? Ал динамикалык жүккө (мисалы, жоокерлердин ротасынын жүрүшүнө же поезддин ар кандай ылдамдыкта өтүшүнө) кандай реакция кылат, учак үн тосмосун кантип жеңет, флутер, - бул типтүү мисалдар түз тапшырма. Туура түз маселени коюу (туура суроо берүү) өзгөчө чеберчиликти талап кылат. Туура суроолор берилбесе, көпүрө анын жүрүм-туруму үчүн жакшы үлгү курулган болсо да, урап калышы мүмкүн. Ошентип, 1879-жылы Улуу Британияда металл Тейдин жээгиндеги темир жол көпүрөсү кулап, анын конструкторлору көпүрөнүн моделин куруп, аны пайдалуу жүктүн таасиринен 20 эселенген коопсуздук маржасына ээ деп эсептешкен. , бирок ал жерлерде шамалдын тынымсыз соккондугун унутуп Ал эми бир жарым жылдан кийин ал кулады.

Эң жөнөкөй учурда (мисалы, бир осциллятордук теңдеме) түз маселе өтө жөнөкөй жана бул теңдеменин ачык чечилишине чейин азайтат.

Тескери маселе: көптөгөн мүмкүн болгон моделдер белгилүү, объект жөнүндө кошумча маалыматтардын негизинде конкреттүү моделди тандоо керек. Көбүнчө моделдин түзүмү белгилүү жана кээ бир белгисиз параметрлерди аныктоо керек. Кошумча маалымат кошумча эмпирикалык маалыматтардан, же объектке талаптардан (долбоорлоо маселеси) турушу мүмкүн. Кошумча маалыматтар тескери маселени чечүү процессине карабастан (пассивдүү байкоо) келип чыгышы мүмкүн же чечүү учурунда атайын пландаштырылган эксперименттин натыйжасы болушу мүмкүн (активдүү байкоо).

Колдо болгон маалыматтарды толук пайдалануу менен тескери маселени чебердик менен чечүүнүн алгачкы мисалдарынын бири Ньютон тарабынан байкалган басаңдатылган термелүүлөрдөн сүрүлүү күчтөрүн калыбына келтирүү үчүн курулган метод болду.

Дагы бир мисал математикалык статистика. Бул илимдин милдети – массалык кокус кубулуштардын ыктымалдык моделдерин түзүү үчүн байкоо жана эксперименттик маалыматтарды жазуу, сүрөттөп берүү жана талдоо ыкмаларын иштеп чыгуу. Башкача айтканда, мүмкүн болгон моделдердин жыйындысы ыктымалдык моделдер менен чектелет. Конкреттүү тапшырмаларда моделдердин топтому чектелүү.

Компьютердик моделдөө системалары

Математикалык моделдештирүү үчүн компьютердик математика системалары иштелип чыккан, мисалы, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim,, ошондой эле Scilab, ж.б. Алар жөнөкөй жана татаал процесстердин жана түзүлүштөрдүн формалдуу жана блоктук моделдерин түзүүгө жана моделдөө учурунда моделдин параметрлерин оңой өзгөртүүгө мүмкүндүк берет. Блок моделдери блоктор (көбүнчө графикалык) менен көрсөтүлөт, алардын топтому жана байланышы моделдик диаграммада көрсөтүлгөн.

Мисалдар

Мальтус модели

Малтус тарабынан сунушталган моделге ылайык, өсүү темпи калктын учурдагы көлөмүнө пропорционалдуу, башкача айтканда дифференциалдык теңдеме менен сүрөттөлөт:

${\dot {x}}=\alpha x$,

мында $\alpha$ - төрөлүү жана өлүм көрсөткүчүнүн ортосундагы айырма менен аныкталган кээ бир параметр. Бул теңдеменин чечими экспоненциалдык функция $x(t)=x_{0}e^{\alpha t}$ болуп саналат. Эгерде төрөлүү көрсөткүчү өлүм көрсөткүчүнөн ашса ($\alpha >0$), популяциянын саны чексиз жана өтө тез көбөйөт. Чындыгында бул чектелген ресурстардан улам болушу мүмкүн эмес. Популяциянын белгилүү бир критикалык көлөмүнө жеткенде, модель адекваттуу болбой калат, анткени ал эсепке алынбайт. чектелген ресурстар. Мальтус моделинин тактоосу логистикалык модель болушу мүмкүн, ал дифференциалдык теңдеме Верхулст менен сүрөттөлөт:

${\dot {x}}=\alpha \left(1-{\frac {x}{x_{s}}}\right)x$,

мында $x_{s}$ - бул "салмактуу" популяциянын өлчөмү, мында төрөлүү көрсөткүчү өлүмдүн көрсөткүчү менен так компенсацияланат. Мындай моделдеги популяциянын көлөмү $x_{s}$ тең салмактуулугуна умтулат жана бул жүрүм-турум структуралык жактан туруктуу.

Бонхоэффер-ван дер Пол модели

Template:Негизги Ричард ФитцХьюнун 1961-жылдагы эмгекинде сунушталган модель жалпысынан концептуалдык моделдерди изилдөөнүн классикалык мисалы катары каралат тез-жай системалары. Канондук түрдө деп жазылат.

$\varepsilon {\ddot {x}}+(x^{2}-1){\dot {x}}+x-by-a=0$.

Ричард ФицХью бул моделди ван дер Пол теңдемесин жана немис химиги Карл-Фридрих Бонхоэффер сунуш кылган моделди жалпылоонун натыйжасында алган. Ван дер Пол теңдемеси (жана тиешелүү система) чектүү цикл концептуалдык модели болсо, Бонхоэффер-ван дер Пол теңдемеси (жана тиешелүү система) автотолкундун концептуалдык модели катары классификацияланат. процесстер. Анын негизинде химиялык жана биологиялык термелүүчү системалардын көп сандагы предметтик, формалдуу-кинетикалык моделдери түзүлгөн.

Жырткыч-жырткыч системасы

Template:Негизги Template:КазыкБелгилүү бир аймакта жаныбарлардын эки түрү жашайт деп ойлойлу: коёнi (өсүмдүктөрми менен азыктанган) жана түлкү (коёндор менен тамактануу). коёндордун саны $x$, түлкүлөрдүн саны $y$ болсун. Түлкүнүн коёндорду жегенин эске алуу менен керектүү түзөтүүлөр менен Malthus моделин колдонуп, төмөнкү системага келебиз, [[Lotka-Volterra Model|Lotka-Volterra Model] ]:

<математика>

 \begin{cases}
 \ чекит x=(\alpha -c y)x\\
\dot y=(-\beta+d x) y
\аягы{иштер}
</math>

Бул системанын жүрүм-туруму структуралык жактан туруктуу эмес: моделдин параметрлеринин бир аз өзгөрүшү (мисалы, коёндор үчүн зарыл болгон чектелген ресурстарды эске алуу менен) жүрүм-турумдун сапаттык өзгөрүшүнө алып келиши мүмкүн. .

Параметрлердин белгилүү бир маанилери үчүн бул система коён менен түлкүнүн саны туруктуу болгондо тең салмактуулук абалы болот. Бул абалдан четтөө коёндордун жана түлкүлөрдүн санынын акырындык менен басаңдатылган термелүүлөргө алып келет.

Тескерисинче, тең салмактуулук абалынан кандайдыр бир кичине четтөө, түрлөрдүн биринин толук жок болушу чейин катастрофалык кесепеттерге алып келген учурда да мүмкүн. Volterra-Lotka модели бул сценарийлердин кайсынысы ишке ашып жатат деген суроого жооп бербейт: бул жерде кошумча изилдөө талап кылынат.